D_河南省2019年中考数学专题复*专题三几何图形的折叠与动点问题训练

发布于:2021-11-29 00:16:17

专题三 几何图形的折叠与动点问题
类型一 与特殊图形有关 (2018·河南)如图,∠MAN=90°,点 C 在边 AM 上,AC=4,点 B 为边 AN 上一动点,连接 BC,△
A′BC 与△ABC 关于 BC 所在直线对称,点 D,E 分别为 AC,BC 的中点,连接 DE 并延长交 A′B 所在直线于点 F,连接 A′E.当△A′EF 为直角三角形时,AB 的长为________.
【分析】 当△A′EF 为直角三角形时,存在两种情况:①∠A′EF=90°,②∠A′FE=90°进行讨论. 【自主解答】 当△A′EF 为直角三角形时,存在两种情况:①当∠A′EF=90°时,如解图①,∵△A′BC 与△ABC 关于 BC 所在直线对称,∴A′C=AC=4,∠ACB=∠A′CB.∵点 D,E 分别为 AC,BC 的中点, ∴D、E 是△ABC 的中位线,∴DE∥AB,∴∠CDE=∠MAN=90°, ∴∠CDE=∠A′EF,∴AC∥A′E,∴∠ACB=∠A′EC,∴∠A′CB=∠A′EC,∴A′C=A′E=4.在 Rt△ A′CB 中,∵E 是斜边 BC 的中点,∴BC=2A′E=8,由勾股定理,得 AB2=BC2-AC2,∴AB= 82-42=4
3;②当∠A′FE=90°时,如解图②,∵∠ADF=∠A=∠DFB=90°.∴∠ABF=90°,∵△A′BC 与△ABC 关于 BC 所在直线对称,∴∠ABC=∠CBA′=45°,∴△ABC 是等腰直角三角形,∴AB=AC=4;综上所述, AB 的长为 4 3或 4.
图①
图② 1.如图,四边形 ABCD 是菱形,AB=2,∠ABC=30°,点 E 是射线 DA 上一动点,把△CDE 沿 CE 折叠,其中 点 D 的对应点为 D′,连接 D′B. 若使△D′BC 为等边三角形,则 DE=________________.
1

2.如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AB=5,AC=4,E、F 分别为 AB、AC 上的点,沿直线 EF 将∠B 折叠, 使点 B 恰好落在 AC 上的 D 处.当△ADE 恰好为直角三角形时,BE 的长为______.
3.(2017·河南)如图,在 Rt△ABC 中,∠A=90°,AB=AC,BC= 2+1,点 M,N 分别是边 BC,AB 上的动 点,沿 MN 所在的直线折叠∠B,使点 B 的对应点 B′始终落在边 AC 上.若△MB′C 为直角三角形,则 BM 的 长为__________.
4.(2018·新乡一模)菱形 ABCD 的边长是 4,∠DAB=60°,点 M、N 分别在边 AD、AB 上,且 MN⊥AC,垂足 为 P,把△AMN 沿 MN 折叠得到△A′MN.若△A′DC 恰为等腰三角形,则 AP 的长为____________.
5.(2017·三门峡一模)如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AB=5,AC=3,点 D 是 BC 上一动点,连接 AD,将△ACD 沿 AD 折叠,点 C 落在点 C′,连接 C′D 交 AB 于点 E,连接 BC′.当△BC′D 是直角三角形时, DE 的长为______.
6.(2018·盘锦)如图,已知 Rt△ABC 中,∠B=90°,∠A=60°,AC=2 3+4,点 M、N 分别在线段 AC、AB 上.将△ANM 沿直线 MN 折叠,使点 A 的对应点 D 恰好落在线段 BC 上,当△DCM 为直角三角形时,折 痕 MN 的长为__________.
7.(2018·乌鲁木齐)如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,BC=2 3,AC=2,点 D 是 BC 的中点,点 E 是边 AB 上一动点,沿 DE 所在直线把△BDE 翻折到△B′DE 的位置,B′D 交 AB 于点 F,若△AB′F 为直角三角形,
2

则 AE 的长为________.

8.(2017·洛阳一模)在菱形 ABCD 中,AB=5,AC=8,点 P 是对角线 AC 上的一个动点,过点 P 作 EF 垂直 AC 交 AD 于点 E,交 AB 于点 F,将△AEF 折叠,使点 A 落在点 A′处,当△A′CD 为等腰三角形时,AP 的长 为______.

9.(2018·濮阳一模)如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=3,BC=4,点 D,E 为 AC,BC 上两个动点.若 将∠C 沿 DE 折叠,点 C 的对应点 C′恰好落在 AB 上,且△ADC′恰好为直角三角形,则此时 CD 的长为 __________.

类型二 点的位置不确定 (2016·河南)如图,已知 AD∥BC,AB⊥BC,AB=3,点 E 为射线 BC 上一个动点,连接 AE,将△ABE
沿 AE 折叠,点 B 落在点 B′处,过点 B′作 AD 的垂线,分别交 AD,BC 于点 M,N.当点 B′为线段 MN 的三等 分点时,BE 的长为________.

【分析】 根据勾股定理,可得 EB′,根据相似三角形的性质,可得 EN 的长,根据勾股定理,可得答案.

【自主解答】 由翻折的性质,得 AB=AB′,BE=B′E.①当 MB′=2,B′N=1 时,设 EN=x,得 B′E=

EN B′E x x2+1

4

4 35

+1

x2+1.由△B′EN~△AB′M,B′M=AB′,即2= 3 ,x2=5,BE=B′E= 5 = 5 ;

EN B′E x

②当 MB′=1,B′N=2 时,设 EN=x,得 B′E= x2+22,△B′EN∽△AB′M,B′M=AB′,即1=

x2+4

1

1 32

3235

+4

3 ,解得 x2=2,BE=B′E= 2 = 2 ,故答案为: 2 或 5 .

1.如图,正方形 ABCD 的边长为 9,将正方形折叠,使 D 点落在 BC 边上的点 E 处,折痕为 GH.若点 E 是 BC 的三等分点,则线段 CH 的长是_______.
3

2.(2018·林州一模)在矩形 ABCD 中,AB=4,BC=9,点 E 是 AD 边上一动点,将边 AB 沿 BE 折叠,点 A 的 对应点为 A′.若点 A′到矩形较长两对边的距离之比为 1∶3,则 AE 的长为__________. 3.(2015·河南)如图,矩形 ABCD 中,AD=5,AB=7,点 E 为 DC 上一个动点,把△ADE 沿 AE 折叠,当点 D 的对应点 D′落在∠ABC 的*分线上时,DE 的长为______.
4.(2017·商丘模拟)如图,在矩形 ABCD 中,AD=5,AB=8,点 E 为射线 DC 上一个动点,把△ADE 沿直线 AE 折叠,当点 D 的对应点 F 刚好落在线段 AB 的垂直*分线上时,则 DE 的长为__________.
5.如图,在矩形 ABCD 中,BC=6,CD=8,点 P 是 AB 上(不含端点 A,B)任意一点,把△PBC 沿 PC 折叠,当 点 B 的对应点 B′落在矩形 ABCD 对角线上时,BP=________.
6.(2018·河南模拟)如图,△ABC 中,AB= 5,AC=5,tan A=2,D 是 BC 中点,点 P 是 AC 上一个动点, 将△BPD 沿 PD 折叠,折叠后的三角形与△PBC 的重合部分面积恰好等于△BPD 面积的一半,则 AP 的长为 ____________.
7.在矩形 ABCD 中,AB=6,BC=12,点 E 在边 BC 上,且 BE=2CE,将矩形沿过点 E 的直线折叠,点 C,D 的对应点分别为 C′,D′,折痕与边 AD 交于点 F,当点 B,C′,D′恰好在同一直线上时,AF 的长为 __________________. 类型三 根据图形折叠探究最值问题
如图,在矩形纸片 ABCD 中,AB=2,AD=3,点 E 是 AB 的中点,点 F 是 AD 边上的一个动点,将△AEF
4

沿 EF 所在直线翻折,得到△A′EF,则 A′C 的长的最小值是________.

【分析】 以点 E 为圆心,AE 长度为半径作圆,连接 CE.当点 A′在线段 CE 上时,A′C 的长取最小值,根据 折叠的性质可知 A′E=1,在 Rt△BCE 中利用勾股定理可求出 CE 的长度,用 CE-A′E 即可求出结论.

例 3 题解图

【自主解答】 以点 E 为圆心,AE 长度为半径作圆,连接 CE,当点 A′在线段 CE 上时,A′C 的长取最小值,

1

1

如解图所示.根据折叠可知:A′E=AE=2AB=1.在 Rt△BCE 中,BE=2AB=1,BC=3,∠B=90°,∴CE=

BE2+BC2= 10,∴A′C 的最小值=CE-A′E= 10-1.故答案为 10-1.

1.(2019·原创)如图,在边长为 10 的等边三角形△ABC 中,D 是 AB 边上的动点,E 是 AC 边的中点,将△ ADE 沿 DE 翻折得到△A′DE,连接 BA′,则 BA′的最小值是__________.

2.在矩形 ABCD 中,AD=12,E 是 AB 边上的点,AE=5,点 P 在 AD 边上,将△AEP 沿 EP 折叠,使得点 A 落 在点 A′的位置,如图,当 A′与点 D 的距离最短时,△A′PD 的面积为________.
3.如图,在边长为 4 的正方形 ABCD 中,E 为 AB 边的中点,F 是 BC 边上的动点,将△EBF 沿 EF 所在直线折 叠得到△EB′F,连接 B′D.则当 B′D 取得最小值时,tan∠BEF 的值为__________.
5

4.(2017·河南模拟)如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC=4,BC=6,点 D 是边 BC 的中点,点 E 是边 AB 上的任意一点(点 E 不与点 B 重合),沿 DE 翻折△DBE 使点 B 落在点 F 处,连接 AF,则线段 AF 的长取最 小值时,BF 的长为_________.

类型一

参考答案

针对训练 1. 3+1 或 2 3-2 【解析】(1)当点 E 在边 AD 上时,过点 E 作 EF⊥CD 于 F,如解图①,设 CF=x,

第 1 题解图① ∵∠ABC=30°,∴∠BCD=150°.∵△BCD′是等边三角形,∴∠DCD′=90°.由折叠可知, ∠ECD=∠D′CE=45°,∵EF=CF=x,在直角三角形 DEF 中,∠D=30°, ∴DE=2x,∴DF= 3x,∴CD=CF+DF=x+ 3x=2,解得 x= 3x-1,∴DE=2x=2 3-2. (2)当 E 在 DA 的延长线上时,如解图②.

第 1 题解图② 过点 B 作 BF⊥DA 于点 F,根据折叠可知,∠ED′C=∠D=30°,又∵三角形 BD′C 是等边三角形,∴D′E 垂直*分 BC,∵AD∥BC.∴D′E⊥AD,∵∠ABC=30°∴∠BAF=30°,又∵AB=2,∴AF= 3.令 D′E 与 BC
6

1 的交点为 G,则易知 EF=BG=2BC=1,∴AE= 3-1,∴DE= 3+1,综上所述,DE 的长度为 3+1 或 2

3-2.

15 15 2. 8 或 7  【解析】在 Rt△ABC 中,∵∠C=90°,AB=5,AC=4,∴BC=3.沿直线 EF 将∠B 折叠,使点 B

恰好落在 BC 上的 D 处,当△ADE 恰好为直角三角形时,根据折叠的性质:BE=DE,设 BE=x,则

DE AE x 5-x

15

DE=x,AE=5-x,①当∠ADE=90°时,则 DE∥BC,∴CB=AB,∴3= 5 ,解得 x= 8 ;②当∠AED=90°

DE AE x 5-x

15

15 15

时,则△AED∽△ACB,∴BC=AC,∴3= 4 ,解得 x= 7 ,故所求 BE 的长度为: 8 或 7 .

11 3.2 2+2或 1 【解析】①如解图①,当∠B′MC=90°,B′与 A 重合,M 是 BC 的中点,

11 1 ∴BM=2BC=2 2+2;②如解图②,当∠MB′C=90°,∵∠A=90°,AB=AC,∴∠C=45°,∴△CMB′是 等腰直角三角形,∴CM= 2MB′.∵沿 MN 所在的直线折叠∠B,使点 B 的对应点为

B′,∴BM=B′M,∴CM= 2BM.∵BC= 2+1,∴CM+BM= 2BM+BM= 2+1,∴BM=1,综上所述,若

11 △MB′C 为直角三角形,则 BM 的长为2 2+2或 1.

图①

图②

第 3 题解图

4 4.3 3或 2 3-2 【解析】①如解图①,当 A′D=A′C 时,∠A′DC=∠A′CD=30°,∴∠AA′D=60°.又

4

AD

38

∵∠CAD=30°,∴∠ADA′=90°,在 Rt△ADA′中,AA′=cos 30°= 2 =3 3,由折叠可得

1

4

AP=2AA′=3 3;

图①
7

图②

第 4 题解图

②如解图②,当 CD=CA′=4 时,连接 BD 交 AC 于 O,则 Rt△COD 中,CO=CD×cos

30°

3

1

=4× 2 =2 3,∴AC=4 3,∴AA′=AC-A′C=4 3-4,由折叠可得 AP=2AA′=2 3-2;故答案为

4 3 3或 2 3-2.

33 5 .2或4 【解析】如解图①所示,点 E 与点 C′重合时.在 Rt△ABC 中,BC= AB2-AC2=4.由翻折的性

质可知;AE=AC=3、DC=DE,则 EB=2.设 DC=ED=x,则 BD=4-x.在 Rt△DBE 中,DE2+BE2=DB2,即

3

3

x2+22=(4-x)2.解得 x=2.∴DE=2.

图①

图②

第 5 题解图

如解图②所示:∠EDB=90°时.由翻折的性质可知:AC=AC′,∠C=∠AC′D=90°.

∵∠C=∠AC′D=∠CDC′=90°,∴四边形 ACDC′为矩形.又∵AC=AC′,∴四边形 ACDC′为正方

DE DB 1 ED 1

3

形.∴CD=AC=3.∴DB=BC-DC=4-3=1.∵DE∥AC,∴△BDE∽△BCA.∴AC=CB=4,即 3 =4.解得 DE=4.点

33

D 在 CB 上运动,∠DBC′<90°,故∠DBC′不可能为直角.故答案为:2或4.

2 3+4 6. 3 或 6 【解析】分两种情况:①如解图①,当∠CDM=90°,△CDM 是直角三角形,∵在 Rt△ABC

1 中,∠B=90°,∠A=60°,AC=2 3+4,∴∠C=30°,AB=2AC= 3+2,由折叠可得,

∠MDN=∠A=60°,∴∠BDN=30°,

11

1

3+2

234

∴BN=2DN=2AN,∴BN=3AB= 3 ,∴AN=2BN= 3 +3,∵∠DNB=60°,∴∠ANM=∠DNM=60°,

8

2 3+4 ∴∠ANM=60°,∴AN=MN= 3 .②如解图②,当∠CMD=90°时,△CDM 是直角三角形,由题可得
11 ∠CDM=60°,∠A=∠MDN=60°,∴∠BDN=60°,∠BND=30°,∴BD=2DN=2AN,BN= 3BD,又∵AB=
1 3+2,∴AN=2,BN= 3,过 N 作 NH⊥AM 于 H,则∠ANH=30°,∴AH=2AN=1,HN= 3,由折叠可得
2 3+4 ∠AMN=∠DMN=45°,∴△MNH 是等腰直角三角形,∴HM=HN= 3,∴MN= 6,故答案为 3 或 6.

图①

图②

第 6 题解图

14 7.3 或 5  【解析】∴∠C=90°,BC=2 3,AC=2,∴tan

AC 2

3

B=BC=2 3= 3 ,∴∠B=30°,

∴AB=2AC=4.∵点 D 是 BC 的中点,沿 DE 所在直线把△BDE 翻折到△B′D′E 的位置,B′D 交 AB 于点

F,∴DB=DC= 3,EB′=EB,∠DB′E=∠B=30°.设 AE=x,则 BE=4-x,EB′=4-x,当

BF

3

3

5

∠AFB′=90°时,在 Rt△BDF 中,cos B=BD,∴BF= 3cos 30°=2,∴EF=2-(4-x)=x-2.在 Rt△

B′EF 中,∵∠EB′F=30°,∴EB′=2EF,

5 则 4-x=2(x-2),解得 x=3,此时 AE 为 3;

第 7 题解图

当∠FB′A=90°时,作 EH⊥AB′于 H,连接 AD,如解图,∵DC=DB′,AD=AD,∴Rt△ADB′≌Rt△

ADC,∴AB′=AC=2.∵∠AB′E=∠AB′F+∠EB′F=90°+30°=120°,∴∠EB′H=60°.在 Rt△

1

1

3

3

EHB′中,B′H=2B′E=2(4-x),EH= 3B′H= 2 (4-x),在 Rt△AEH 中,∵EH2+AH2=AE2,∴4(4-x)

9

1

14

14

14

2+[2(4-x)+2]2=x2,解得 x= 5 ,此时 AE 为 5 .综上所述,AE 的长为 3 或 5 .

3 39

8.2或16 【解析】∵四边形 ABCD 是菱形,

∴AB=BC=CD=AD=5,∠DAC=∠BAC.∵EF⊥AA′,∴∠EPA=∠FPA′=90°,∴∠EAP+∠AEP=90°,

∠FAP+∠AFP=90°,∴∠AEP=∠AFP,∴AE=AF.∵△A′EF 是由△AEF 翻折,

∴AE=EA′,AF=FA′,∴AE=EA′=A′F=FA,∴四边形 AEA′F 是菱形,∴AP=PA′.①当 CD=CA′时,

1

3

∵AA′=AC-CA′=3,∴AP=2AA′=2.②当 A′C=A′D 时,∵∠A′CD=∠A′DC=∠DAC,∴△

A′C DC

25

25 39

1

39

3 39

A′CD∽△DAC,∴ AD =AC,∴A′C= 8 ,∴AA′=8- 8 = 8 ,∴AP=2AA′=16,故答案为2或16.

12 4 9. 7 或3 【解析】①如解图①,当∠ADC′=90°时,∠ADC′=∠C,

第 9 题解图①

AD 3

3-x

∴DC′∥CB,∴△ADC′∽△ACB.又∵AC=3,BC=4,∴DC′=4,设 CD=C′D=x,则 AD=3-x,∴ x =

3

12

12

12

4,解得 x= 7 ,经检验:x= 7 是所列方程的解,∴CD= 7 ;②如解图②,当∠DC′A=90°时,

∠DCB=90°,

第 9 题解图②

由折叠可得,∠C=∠DC′E=90°,∴C′B 与 CE 重合,由∠C=∠AC′D=90°,∠A=∠A,可得△

AD AB 5

3-x 5

ADC′∽△ABC,在 Rt△ABC 中,AB=5,∴C′D=CB=4,设 CD=C′D=x,则 AD=3-x,∴ x =4,解得

4

4

12 4

x=3,∴CD=3.综上所述,CD 的长为 7 或3.

类型二

针对训练

5

1

1.4 或2 【解析】设 CH=x,则 DH=EH=9-x,当 BE∶EC=2∶1 时,BC=9,∴CE=3BC=3.在 Rt△ECH

2

中,EH2=EC2+CH2,即(9-x)2=32+x2,解得 x=4,即 CH=4.当 BE∶EC=1∶2 时,CE=3BC=6.在 Rt△

ECH 中,EH2=EC2+CH2,即(9-x)2=62+x2,解得:

5

5

5

x=2,即 CH=2.故 CH 的长为 4 或2.
10

4 7 4 15 2. 7 或 5  【解析】如解图,过点 A′作 A′M⊥AD 于 M 交 BC 于 N,则四边形 ABNM 是矩形,

∴AB=MN=4.∵若点 A′到矩形较长两对边的距离之比为 1∶3,∴A′M=1,A′N=3 或

A′M=3,A′N=1.①当 A′M=1,A′N=3 时,在 Rt△BA′N 中,BN= 42-32= 7,∴AM=BN= 7.由

EM A′M EM 1

37

47

△A′EM~△BA′N,∴A′N= BN ,∴ 3 = 7,∴EM= 7 ,∴AE= 7 ;②当 A′M=3,A′N=1 时,同

4 15 理可得 AE= 5 .

, 第 2 题解图)  

第 3 题解图

55 3.2或3 【解析】如解图,连接 BD′,过 D′作 MN⊥AB,交 AB 于点 M,CD 于点 N,作 D′P⊥BC 交 BC 于点

P.∵点 D 的对应点 D′落在∠ABC 的*分线上,∴MD′=PD′.设 MD′=x,则

PD′=BM=x,∴AM=AB-BM=7-x,又由折叠图形可得 AD=AD′=5,∴x2+(7-x)2=25,解得 x=3 或

4,即 MD′=3 或 4.在 Rt△END′中,设 ED′=a,①当 MD′=3 时,

5

5

AM=7-3=4,D′N=5-3=2,EN=4-a,∴a2=22+(4-a)2,解得 a=2,即 DE=2;②当 MD′=4 时,

5

5

AM=7-4=3,D′N=5-4=1,EN=3-a,∴a2=12+(3-a)2,解得 a=3,即 DE=3.综上所述,DE 的长为

55 2或3.

5 4.2或 10 【解析】分两种情况:①如解图①,当点 F 在矩形内部时,∵点 F 在 AB 的垂直*分线 MN 上,

∴AN=4.∵AF=AD=5,由勾股定理得 FN=3,∴FM=2.设 DE 为 x,则 EM=4-x,FE=x,在△EMF 中,由勾

5

5

股定理,得 x2=(4-x)2+22,∴x=2,即 DE 的长为2;

图①
11

图②

第 4 题解图

②如解图②,当点 F 在矩形外部时,同①的方法可得 FN=3,∴FM=8,设 DE 为 y,则 EM=y-4,FE=y,

在△EMF 中,由勾股定理,得 y2=(y-4)2+82,∴y=10,即 DE 的长为 10.综上所述,点 F 刚好落在线段 AB 5
的垂直*分线上时,DE 的长为2或 10. 9
5.3 或2 【解析】①点 A 落在矩形对角线 BD 上,如解图①,∵在矩形 ABCD 中, AB=8,BC=6∴∠ABC=90°,AC=BD,∴AC=BD= 62+82=10.根据折叠的性质,得

BP BC BP 6

9

PC⊥BB′,∴∠PBD=∠BCP,∴△BCP∽△ABD,∴AD=AB,即 6 =8,解得 BP=2;②点 A 落在矩形对角线

AC 上,如解图②,根据折叠的性质,得 BP=B′P,∠B=∠PB′C=90°,∴∠AB′A=90°,∴△

B′P AP BP 8-BP

9

APB′∽△ACB,∴ BC =AC,即 6 = 10 ,解得 BP=3,故答案为:3 或2.

图①

图②

第 5 题解图

6.2 或 5- 5 【解析】分两种情况:①当点 B′在 AC 的下方时,如解图①,∵D 是 BC 中点,∴S△

1

1

BPD=S△PDC,∵S△PDF=2S△BPD,∴S△PDF=2S△PDC.∴F 是 PC 的中点,∴DF 是△BPC 的中位线,

∴DF∥BP,∴∠BPD=∠PDF,由折叠得:∠BPD=∠B′PD,∴∠B′PD=∠PDF,∴PB′=B′D,即

PB=BD,过 B 作 BE⊥AC 于 E,在 Rt△ABE 中,tan

BE A=AE=2,∵AB= 5,∴AE=1,BE=2,∴EC=5-1=4,由勾股定理,得 BC= BE2+EC2= 22+42=2
5,∵D 为 BC 的中点,∴BD= 5,∴PB=BD= 5,在 Rt△BPE 中,PE=1,∴AP=AE+PE=1+1=2;

12

图①
图② 第 6 题解图 ②当点 B′在 AC 的上方时,如解图②,连接 B′C,同理得:F 是 DC 的中点,F 是 PB′的中点, ∴DF=FC,PF=FB′,∴四边形 DPCB′是*行四边形,∴PC=B′D=BD= 5,∴AP=5- 5,综上所述, AP 的长为 2 或 5- 5. 7.8+2 3或 8-2 3 【解析】由折叠的性质得,∠EC′D′=∠C=90°,C′E=CE.∵点 B、C′、D′ 在同一直线上,∴∠BC′E=90°,∵BC=12,BE=2CE,∴BE=8,C′E=CE=4,在 Rt△BC′E 中, BE C′E=2,∴∠C′BE=30°.①当点 C′在 BC 的上方时,如解图①,过 E 作 EG⊥AD 于 G,延长 EC′交 AD 于 H,则四边形 ABEG 是矩形,∴EG=AB=6,AG=BE=8,∵∠C′BE=30°,∠BC′E=90°, ∴∠BEC′=60°,由折叠的性质得,∠C′EF=∠CEF=60°.∵AD∥BC,∴∠HFE=∠CEF=60°,∴△EFH 是等边三角形,∴在 Rt△EFG 中,EG=6,∴GF=2 3,∴AF=8+2 3;②当点 C′在 BC 的下方时,如解 图②,过 F 作 FG⊥AD 于 G,D′F 交 BE 于 H,同①可得,四边形 ABGF 是矩形,△EFH 是等边三角形, ∴AF=BG,FG=AB=6,∠FEH=60°,在 Rt△EFG 中,GE=2 3.∵BE=8,∴BG=8-2 3,∴AF=8-2 3.
图①

类型三 针对训练 1.5 3-5 【解析】如解图,连接 BE.

图② 第 7 题解图

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第 1 题解图 ∵AB=BC=AC=10,∴∠C=60°.∵AB=BC,E 是 AC 的中点,∴BE⊥AC.∴BE= BC2-EC2= 102-52=5
3.∵AC=10,E 是 AC 边的中点,∴AE=5.由翻折的性质可知 A′E=AE=5.∵BA′+A′E≥BE,∴当点 B、A′、E 在一条直线上时,BA′有最小值,最小值=BE-A′E=5 3-5.
40 2. 3  【解析】连接 DE,DE= 52+122=13,∵将△AEP 沿 FP 折叠,使得点 A 落在点 A′的位置, ∴EA′=EA=5,∵A′D≥DE-EA′
第 2 题解图 (当且仅当 A′点在 DE 上时,取等号),∴当 A′与点 D 的距离最短时,A′点在 DE 上,∴DA′=13-5=8,
10 设 PA′=x,则 PA=x,PD=12-x,在 Rt△DPA′中,x2+82=(12-x)2,解得 x= 3 ,∴△A′PD 的面积= 1 10 40 2×8× 3 = 3 .
1+ 5 3. 2  【解析】在 Rt△ADE 中,DE= 22+42=2 5,当 B′在 ED 上时,B′D 最小,在 ED 上截取 EB′=EB=2,连接 B′F,FD,则 B′D=ED-EB′=2 5-2,设 BF=x,则 B′F=x,CF=4-x,在 Rt△ B′FD 和 Rt△FCD 中,利用勾股定理,可得 DB′2+B′F2=DF2=CF2+DC2,即(2 5-2)2+x2=(4-x)
BF 1+ 5 2+42,解得 x= 5+1,∴Rt△BEF 中,tan∠BEF=BE= 2 .

12 5 4. 5  【解析】由题意得:DF=DB,

 第 3 题解图

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第 4 题解图

∴点 F 在以 D 为圆心,BD 为半径的圆上,作⊙D; 连接 AD 交⊙D 于点 F,此时 AF 值最小,∵点 D 是边 BC 的

中点,∴CD=BD=3;而 AC=4,由勾股定理得:AD2=AC2+CD2,∴AD=5,而 FD=3,∴FA=5-3=2,即线

段 AF 长的最小值是 2,连接 BF,过 F 作 FH⊥BC 于 H,∵∠ACB=90°,∴FH∥AC,∴△DFH∽△

DF DH HF 3 DH HF

12

9

24

12 5

DAC,∴AD=CD=AC,即5= 3 = 4 ,∴HF= 5 ,DH=5,∴BH= 5 ,∴BF= BH2+HF2= 5 .

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