河南省2019年中考数学专题复*专题三:几何图形的折叠与动点问题训练

发布于:2021-11-29 01:28:51

专题三

几何图形的折叠与动点问题

类型一 与特殊图形有关 (2018·河南)如图,∠MAN=90°,点 C 在边 AM 上,AC=4,点 B 为边 AN 上一动点,连接 BC, △A′BC 与△ABC 关于 BC 所在直线对称,点 D,E 分别为 AC,BC 的中点,连接 DE 并延长交 A′B 所在直线 于点 F,连接 A′E.当△A′EF 为直角三角形时,AB 的长为________.

【分析】 当△A′EF 为直角三角形时,存在两种情况:①∠A′EF=90°,②∠A′FE=90°进行讨论. 【自主解答】 当△A′EF 为直角三角形时,存在两种情况:①当∠A′EF=90°时,如解图①,∵△A′BC 与△ABC 关于 BC 所在直线对称,∴A′C=AC=4,∠ACB=∠A′CB.∵点 D,E 分别为 AC,BC 的中点,∴D、 E 是△ABC 的中位线,∴DE∥AB,∴∠CDE=∠MAN=90°,∴∠CDE=∠A′EF,∴AC∥A′E,∴∠ACB= ∠A′EC,∴∠A′CB=∠A′EC,∴A′C=A′E=4.在 Rt△A′CB 中,∵E 是斜边 BC 的中点,∴BC=2A′E =8,由勾股定理,得 AB =BC -AC ,∴AB= 8 -4 =4 3;②当∠A′FE=90°时,如解图②,∵∠ADF =∠A=∠DFB=90°.∴∠ABF=90°,∵△A′BC 与△ABC 关于 BC 所在直线对称,∴∠ABC=∠CBA′= 45°,∴△ABC 是等腰直角三角形,∴AB=AC=4;综上所述,AB 的长为 4 3或 4.
2 2 2 2 2

图①

图②

1.如图,四边形 ABCD 是菱形,AB=2,∠ABC=30°,点 E 是射线 DA 上一动点,把△CDE 沿 CE 折叠,其 中点 D 的对应点为 D′,连接 D′B. 若使△D′BC 为等边三角形,则 DE=________________.

2.如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AB=5,AC=4,E、F 分别为 AB、AC 上的点,沿直线 EF 将∠B 折

叠,使点 B 恰好落在 AC 上的 D 处.当△ADE 恰好为直角三角形时,BE 的长为______.

3.(2017·河南)如图,在 Rt△ABC 中,∠A=90°,AB=AC,BC= 2+1,点 M,N 分别是边 BC,AB 上的 动点,沿 MN 所在的直线折叠∠B,使点 B 的对应点 B′始终落在边 AC 上.若△MB′C 为直角三角形,则 BM 的长为__________.

4.(2018·新乡一模)菱形 ABCD 的边长是 4,∠DAB=60°,点 M、N 分别在边 AD、AB 上,且 MN⊥AC,垂 足为 P,把△AMN 沿 MN 折叠得到△A′MN.若△A′DC 恰为等腰三角形,则 AP 的长为____________.

5.(2017·三门峡一模)如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AB=5,AC=3,点 D 是 BC 上一动点,连接 AD,将△ACD 沿 AD 折叠,点 C 落在点 C′,连接 C′D 交 AB 于点 E,连接 BC′.当△BC′D 是直角三角形时, DE 的长为______.

6.(2018·盘锦)如图,已知 Rt△ABC 中,∠B=90°,∠A=60°,AC=2 3+4,点 M、N 分别在线段 AC、AB 上.将△ANM 沿直线 MN 折叠,使点 A 的对应点 D 恰好落在线段 BC 上,当△DCM 为直角三角形时, 折痕 MN 的长为__________.

7.(2018·乌鲁木齐)如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,BC=2 3,AC=2,点 D 是 BC 的中点,点 E 是边 AB 上一动点,沿 DE 所在直线把△BDE 翻折到△B′DE 的位置,B′D 交 AB 于点 F,若△AB′F 为直角三角 形,则 AE 的长为________.

8.(2017·洛阳一模)在菱形 ABCD 中,AB=5,AC=8,点 P 是对角线 AC 上的一个动点,过点 P 作 EF 垂直 AC 交 AD 于点 E,交 AB 于点 F,将△AEF 折叠,使点 A 落在点 A′处,当△A′CD 为等腰三角形时,AP 的长 为______.

9.(2018·濮阳一模)如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=3,BC=4,点 D,E 为 AC,BC 上两个动 点.若将∠C 沿 DE 折叠,点 C 的对应点 C′恰好落在 AB 上,且△ADC′恰好为直角三角形,则此时 CD 的 长为__________.

类型二 点的位置不确定 (2016·河南)如图,已知 AD∥BC,AB⊥BC,AB=3,点 E 为射线 BC 上一个动点,连接 AE,将△ABE 沿 AE 折叠,点 B 落在点 B′处,过点 B′作 AD 的垂线,分别交 AD,BC 于点 M,N.当点 B′为线段 MN 的三 等分点时,BE 的长为________.

【分析】 根据勾股定理,可得 EB′,根据相似三角形的性质,可得 EN 的长,根据勾股定理,可得答案. 【自主解答】 由翻折的性质,得 AB=AB′,BE=B′E.①当 MB′=2,B′N=1 时,设 EN=x,得 B′E= x +1.由△B′EN~△AB′M,
2

EN B′E x x +1 2 4 = ,即 = ,x = ,BE=B′E= B′M AB′ 2 3 5
2 2

2

4 3 5 +1= ; 5 5 EN B′E x = ,即 = B′M AB′ 1

②当 MB′= 1 ,B′N= 2 时,设 EN = x ,得 B′E= x +2 ,△B′EN∽△AB′M, x +4 1 2 ,解得 x = ,BE=B′E= 3 2
2

1 3 2 3 2 3 5 +4= ,故答案为: 或 . 2 2 2 5

1.如图,正方形 ABCD 的边长为 9,将正方形折叠,使 D 点落在 BC 边上的点 E 处,折痕为 GH.若点 E 是 BC 的三等分点,则线段 CH 的长是_______.

2.(2018·林州一模)在矩形 ABCD 中,AB=4,BC=9,点 E 是 AD 边上一动点,将边 AB 沿 BE 折叠,点 A 的对应点为 A′.若点 A′到矩形较长两对边的距离之比为 1∶3,则 AE 的长为__________. 3.(2015·河南)如图,矩形 ABCD 中,AD=5,AB=7,点 E 为 DC 上一个动点,把△ADE 沿 AE 折叠,当点 D 的对应点 D′落在∠ABC 的*分线上时,DE 的长为______.

4.(2017·商丘模拟)如图,在矩形 ABCD 中,AD=5,AB=8,点 E 为射线 DC 上一个动点,把△ADE 沿直线 AE 折叠,当点 D 的对应点 F 刚好落在线段 AB 的垂直*分线上时,则 DE 的长为__________.

5.如图,在矩形 ABCD 中,BC=6,CD=8,点 P 是 AB 上(不含端点 A,B)任意一点,把△PBC 沿 PC 折叠, 当点 B 的对应点 B′落在矩形 ABCD 对角线上时,BP=________.

6.(2018·河南模拟)如图,△ABC 中,AB= 5,AC=5,tan A=2,D 是 BC 中点,点 P 是 AC 上一个动点, 将△BPD 沿 PD 折叠,折叠后的三角形与△PBC 的重合部分面积恰好等于△BPD 面积的一半,则 AP 的长为 ____________.

7.在矩形 ABCD 中,AB=6,BC=12,点 E 在边 BC 上,且 BE=2CE,将矩形沿过点 E 的直线折叠,点 C,D 的对应点分别为 C′,D′,折痕与边 AD 交于点 F,当点 B,C′,D′恰好在同一直线上时,AF 的长为 __________________.

类型三 根据图形折叠探究最值问题 如图,在矩形纸片 ABCD 中,AB=2,AD=3,点 E 是 AB 的中点,点 F 是 AD 边上的一个动点,将△AEF 沿 EF 所在直线翻折,得到△A′EF,则 A′C 的长的最小值是________.

【分析】 以点 E 为圆心,AE 长度为半径作圆,连接 CE.当点 A′在线段 CE 上时,A′C 的长取最小值,根 据折叠的性质可知 A′E=1,在 Rt△BCE 中利用勾股定理可求出 CE 的长度,用 CE-A′E 即可求出结论.

例 3 题解图 【自主解答】 以点 E 为圆心,AE 长度为半径作圆,连接 CE,当点 A′在线段 CE 上时,A′C 的长取最小 1 1 值,如解图所示.根据折叠可知:A′E=AE= AB=1.在 Rt△BCE 中,BE= AB=1,BC=3,∠B=90°, 2 2 ∴CE= BE +BC = 10,∴A′C 的最小值=CE-A′E= 10-1.故答案为 10-1.
2 2

1.(2019·原创)如图,在边长为 10 的等边三角形△ABC 中,D 是 AB 边上的动点,E 是 AC 边的中点,将 △ADE 沿 DE 翻折得到△A′DE,连接 BA′,则 BA′的最小值是__________.

2.在矩形 ABCD 中,AD=12,E 是 AB 边上的点,AE=5,点 P 在 AD 边上,将△AEP 沿 EP 折叠,使得点 A 落在点 A′的位置,如图,当 A′与点 D 的距离最短时,△A′PD 的面积为________.

3.如图,在边长为 4 的正方形 ABCD 中,E 为 AB 边的中点,F 是 BC 边上的动点,将△EBF 沿 EF 所在直线 折叠得到△EB′F,连接 B′D.则当 B′D 取得最小值时,tan∠BEF 的值为__________.

4.(2017·河南模拟)如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC=4,BC=6,点 D 是边 BC 的中点,点 E 是

边 AB 上的任意一点(点 E 不与点 B 重合),沿 DE 翻折△DBE 使点 B 落在点 F 处,连接 AF,则线段 AF 的长 取最小值时,BF 的长为_________.

参考答案 类型一 针对训练 1. 3+1 或 2 3-2 【解析】(1)当点 E 在边 AD 上时,过点 E 作 EF⊥CD 于 F,如解图①,设 CF=x,

第 1 题解图① ∵∠ABC=30°,∴∠BCD=150°.∵△BCD′是等边三角形,∴∠DCD′=90°.由折叠可知,∠ECD= ∠D′CE=45°,∵EF=CF=x,在直角三角形 DEF 中,∠D=30°,∴DE=2x,∴DF= 3x,∴CD=CF+ DF=x+ 3x=2,解得 x= 3x-1,∴DE=2x=2 3-2. (2)当 E 在 DA 的延长线上时,如解图②.

第 1 题解图② 过点 B 作 BF⊥DA 于点 F,根据折叠可知,∠ED′C=∠D=30°,又∵三角形 BD′C 是等边三角形,∴D′E 垂直*分 BC,∵AD∥BC.∴D′E⊥AD,∵∠ABC=30°∴∠BAF=30°,又∵AB=2,∴AF= 3.令 D′E 与 1 BC 的交点为 G,则易知 EF=BG= BC=1,∴AE= 3-1,∴DE= 3+1,综上所述,DE 的长度为 3+1 或 2 2 3-2.

2.

15 15 或 【解析】在 Rt△ABC 中,∵∠C=90°,AB=5,AC=4,∴BC=3.沿直线 EF 将∠B 折叠,使点 8 7

B 恰好落在 BC 上的 D 处,当△ADE 恰好为直角三角形时,根据折叠的性质:BE=DE,设 BE=x,则 DE=x, DE AE x 5-x 15 AE=5-x,①当∠ADE=90°时,则 DE∥BC,∴ = ,∴ = ,解得 x= ;②当∠AED=90°时, CB AB 3 5 8 DE AE x 5-x 15 15 15 则△AED∽△ACB,∴ = ,∴ = ,解得 x= ,故所求 BE 的长度为: 或 . BC AC 3 4 7 8 7 3. 1 1 1 1 2+ 或 1 【解析】 ①如解图①,当∠B′MC=90°,B′与 A 重合,M 是 BC 的中点,∴BM= BC= 2 2 2 2 2

1 + ;②如解图②,当∠MB′C=90°,∵∠A=90°,AB=AC,∴∠C=45°,∴△CMB′是等腰直角三角 2 形,∴CM= 2MB′.∵沿 MN 所在的直线折叠∠B,使点 B 的对应点为 B′,∴BM=B′M,∴CM= 2BM.∵BC 1 = 2+1,∴CM+BM= 2BM+BM= 2+1,∴BM=1,综上所述,若△MB′C 为直角三角形,则 BM 的长为 2 1 2+ 或 1. 2

图①

图② 第 3 题解图 4. 4 3或 2 3-2 【解析】 ①如解图①,当 A′D=A′C 时,∠A′DC=∠A′CD=30°,∴∠AA′D=60°. 3

AD 4 8 1 又∵∠CAD=30°,∴∠ADA′=90°,在 Rt△ADA′中,AA′= = = 3,由折叠可得 AP= cos 30° 2 3 3 2 4 AA′= 3; 3

图①

图② 第 4 题解图 ②如解图②,当 CD=CA′=4 时,连接 BD 交 AC 于 O,则 Rt△COD 中,CO=CD×cos 30°=4× 3 =2 3, 2

1 4 ∴AC=4 3,∴AA′=AC-A′C=4 3-4,由折叠可得 AP= AA′=2 3-2;故答案为 3或 2 3-2. 2 3 3 3 2 2 5 . 或 【解析】如解图①所示,点 E 与点 C′重合时.在 Rt△ABC 中,BC= AB -AC =4.由翻折的性 2 4 质可知;AE=AC=3、DC=DE,则 EB=2.设 DC=ED=x,则 BD=4-x.在 Rt△DBE 中,DE +BE =DB ,即 x 3 3 2 2 +2 =(4-x) .解得 x= .∴DE= . 2 2
2 2 2 2

图①

图② 第 5 题解图 如解图②所示:∠EDB=90°时.由翻折的性质可知:AC=AC′,∠C=∠AC′D=90°.∵∠C=∠AC′D =∠CDC′=90°,∴四边形 ACDC′为矩形.又∵AC=AC′,∴四边形 ACDC′为正方形.∴CD= AC = DE DB 1 ED 1 3 3.∴DB=BC-DC=4-3=1.∵DE∥AC,∴△BDE∽△BCA.∴ = = ,即 = .解得 DE= .点 D 在 CB 上 AC CB 4 3 4 4 3 3 运动,∠DBC′<90°,故∠DBC′不可能为直角.故答案为: 或 . 2 4 6. 2 3+4 或 6 【解析】 分两种情况:①如解图①,当∠CDM=90°,△CDM 是直角三角形,∵在 Rt△ABC 3

1 中,∠B=90°,∠A=60°,AC=2 3+4,∴∠C=30°,AB= AC= 3 +2,由折叠可得,∠MDN=∠A 2 1 1 1 3+2 2 3 4 =60°,∴∠BDN=30°,∴BN= DN = AN ,∴BN= AB = ,∴AN= 2BN = + ,∵∠DNB= 2 2 3 3 3 3 60°,∴∠ANM=∠DNM=60°,∴∠ANM=60°,∴AN= MN = 2 3+4 .②如解图②,当∠CMD=90°时, 3

△CDM 是直角三角形,由题可得∠CDM=60°,∠A=∠MDN=60°,∴∠BDN=60°,∠BND=30°,∴BD 1 1 = DN= AN,BN= 3BD,又∵AB= 3+2,∴AN=2,BN= 3,过 N 作 NH⊥AM 于 H,则∠ANH=30°, 2 2

1 ∴AH= AN = 1 , HN = 3 ,由折叠可得∠AMN=∠DMN=45°,∴△MNH 是等腰直角三角形,∴HM= HN = 2 2 3+4 3,∴MN= 6,故答案为 或 6. 3

图①

图② 第 6 题解图 14 AC 2 3 7.3 或 【解析】 ∴∠C=90°,BC=2 3,AC=2,∴tan B= = = ,∴∠B=30°,∴AB=2AC 5 BC 2 3 3 =4.∵点 D 是 BC 的中点,沿 DE 所在直线把△BDE 翻折到△B′D′E 的位置,B′D 交 AB 于点 F,∴DB=DC = 3,EB′=EB,∠DB′E=∠B=30°.设 AE=x,则 BE=4-x,EB′=4-x,当∠AFB′=90°时,在 BF 3 3 5 Rt△BDF 中,cos B= ,∴BF= 3cos 30°= ,∴EF= -(4-x)=x- .在 Rt△B′EF 中,∵∠EB′F BD 2 2 2 =30°,∴EB′=2EF, 5 则 4-x=2(x- ),解得 x=3,此时 AE 为 3; 2

第 7 题解图 当 ∠FB′A = 90° 时 , 作 EH⊥AB′ 于 H , 连 接 AD , 如 解 图 , ∵DC = DB′ , AD = AD , ∴Rt△ADB′≌Rt△ADC , ∴AB′ = AC = 2.∵∠AB′E = ∠AB′F + ∠EB′F = 90° + 30° = 120° , 1 1 3 ∴∠EB′H=60°.在 Rt△EHB′中,B′H= B′E= (4-x),EH= 3B′H= (4-x),在 Rt△AEH 中, 2 2 2 3 1 14 14 2 2 2 2 2 2 ∵EH +AH =AE ,∴ (4-x) +[ (4-x)+2] =x ,解得 x= ,此时 AE 为 .综上所述,AE 的长为 3 或 4 2 5 5 14 . 5

3 39 8. 或 【解析】∵四边形 ABCD 是菱形,∴AB=BC=CD=AD=5,∠DAC=∠BAC.∵EF⊥AA′,∴∠EPA 2 16 = ∠FPA′ = 90° , ∴∠EAP + ∠AEP = 90° , ∠FAP + ∠AFP = 90° , ∴∠AEP = ∠AFP , ∴AE = AF.∵△A′EF 是由△AEF 翻折,∴AE=EA′,AF=FA′,∴AE=EA′=A′F=FA,∴四边形 AEA′F 是菱 1 3 形,∴AP=PA′.①当 CD =CA′时,∵AA′= AC -CA′= 3 ,∴AP= AA′= .②当 A′C=A′D 时, 2 2 ∵∠A′CD=∠A′DC=∠DAC,∴△A′CD∽△DAC,∴ 1 39 3 39 ∴AP= AA′= ,故答案为 或 . 2 16 2 16 9. 12 4 或 【解析】①如解图①,当∠ADC′=90°时,∠ADC′=∠C, 7 3 A′C DC 25 25 39 = ,∴A′C= ,∴AA′= 8 - = , AD AC 8 8 8

第 9 题解图① ∴DC′∥CB,∴△ADC′∽△ACB.又∵AC=3,BC=4,∴ AD 3 3-x = ,设 CD=C′D=x,则 AD=3-x,∴ DC′ 4 x

3 12 12 12 = ,解得 x= ,经检验:x= 是所列方程的解,∴CD= ;②如解图②,当∠DC′A=90°时,∠DCB 4 7 7 7 =90°,

第 9 题解图② 由折叠可得,∠C=∠DC′E=90°,∴C′B 与 CE 重合,由∠C=∠AC′D=90°,∠A=∠A,可得 AD AB 5 3-x 5 △ADC′∽△ABC,在 Rt△ABC 中,AB=5,∴ = = ,设 CD=C′D=x,则 AD=3-x,∴ = , C′D CB 4 x 4 4 4 12 4 解得 x= ,∴CD= .综上所述,CD 的长为 或 . 3 3 7 3 类型二 针对训练 5 1 1.4 或 【解析】设 CH=x,则 DH=EH=9-x,当 BE∶EC=2∶1 时,BC=9,∴CE= BC=3.在 Rt△ECH 2 3 2 2 2 2 2 2 2 中, EH = EC + CH ,即 (9 - x) = 3 + x ,解得 x = 4 ,即 CH = 4. 当 BE∶EC=1∶2 时, CE = BC = 6. 在 3 5 5 5 2 2 2 2 2 2 Rt△ECH 中,EH =EC +CH ,即(9-x) =6 +x ,解得:x= ,即 CH= .故 CH 的长为 4 或 . 2 2 2

2.

4 7 4 15 或 【解析】如解图,过点 A′作 A′M⊥AD 于 M 交 BC 于 N,则四边形 ABNM 是矩形,∴AB=MN 7 5

=4.∵若点 A′到矩形较长两对边的距离之比为 1∶3,∴A′M=1,A′N=3 或 A′M=3,A′N=1.①当 A′M= 1 ,A′N= 3 时,在 Rt△BA′N 中, BN = 4 -3 = 7 ,∴AM= BN = 7. 由△A′EM~△BA′N, ∴ EM A′M EM 1 3 7 4 7 4 15 = ,∴ = ,∴EM= ,∴AE= ;②当 A′M=3,A′N=1 时,同理可得 AE= . A′N BN 3 7 7 5 7
2 2

, 第 2 题解图)

第 3 题解图 5 5 3. 或 【解析】如解图,连接 BD′,过 D′作 MN⊥AB,交 AB 于点 M,CD 于点 N,作 D′P⊥BC 交 BC 于 2 3 点 P.∵点 D 的对应点 D′落在∠ABC 的*分线上,∴MD′=PD′.设 MD′=x,则 PD′=BM=x,∴AM=AB -BM=7-x,又由折叠图形可得 AD=AD′=5,∴x +(7-x) =25,解得 x=3 或 4,即 MD′=3 或 4.在 Rt△END′中,设 ED′=a,①当 MD′=3 时,AM=7-3=4,D′N=5-3=2,EN=4-a,∴a =2 +(4- 5 5 2 2 2 a) ,解得 a= ,即 DE= ;②当 MD′=4 时,AM=7-4=3,D′N=5-4=1,EN=3-a,∴a =1 +(3- 2 2 5 5 5 5 2 a) ,解得 a= ,即 DE= .综上所述,DE 的长为 或 . 3 3 2 3 5 4. 或 10 【解析】分两种情况:①如解图①,当点 F 在矩形内部时,∵点 F 在 AB 的垂直*分线 MN 上, 2 ∴AN=4.∵AF=AD=5,由勾股定理得 FN=3,∴FM=2.设 DE 为 x,则 EM=4-x,FE=x,在△EMF 中,由 5 5 2 2 2 勾股定理,得 x =(4-x) +2 ,∴x= ,即 DE 的长为 ; 2 2
2 2 2 2

图①

图② 第 4 题解图 ②如解图②,当点 F 在矩形外部时,同①的方法可得 FN=3,∴FM=8,设 DE 为 y,则 EM=y-4,FE=y, 在△EMF 中,由勾股定理,得 y =(y-4) +8 ,∴y=10,即 DE 的长为 10.综上所述,点 F 刚好落在线段 5 AB 的垂直*分线上时,DE 的长为 或 10. 2 9 5.3 或 【解析】①点 A 落在矩形对角线 BD 上,如解图①,∵在矩形 ABCD 中,AB=8,BC=6∴∠ABC 2 = 90° , AC = BD , ∴AC = BD = 6 +8 = 10. 根 据 折 叠 的 性 质 , 得 PC⊥BB′ , ∴∠PBD = ∠BCP , BP BC BP 6 9 ∴△BCP∽△ABD,∴ = ,即 = ,解得 BP= ;②点 A 落在矩形对角线 AC 上,如解图②,根据折叠 AD AB 6 8 2 B′P AP BP 的性质,得 BP=B′P,∠B=∠PB′C=90°,∴∠AB′A=90°,∴△APB′∽△ACB,∴ = ,即 BC AC 6 = 8-BP 9 ,解得 BP=3,故答案为:3 或 . 10 2
2 2 2 2 2

图①

图② 第 5 题解图 6.2 或 5- 5 【解析】分两种情况:①当点 B′在 AC 的下方时,如解图①,∵D 是 BC 中点,∴S△BPD=

1 1 S△PDC,∵S△PDF= S△BPD,∴S△PDF= S△PDC.∴F 是 PC 的中点,∴DF 是△BPC 的中位线,∴DF∥BP,∴∠BPD= 2 2 ∠PDF,由折叠得:∠BPD=∠B′PD,∴∠B′PD=∠PDF,∴PB′=B′D,即 PB=BD,过 B 作 BE⊥AC 于 BE E,在 Rt△ABE 中,tan A= =2,∵AB= 5,∴AE=1,BE=2,∴EC=5-1=4,由勾股定理,得 BC= AE BE +EC = 2 +4 =2 5,∵D 为 BC 的中点,∴BD= 5,∴PB=BD= 5,在 Rt△BPE 中,PE=1,∴AP =AE+PE=1+1=2;
2 2 2 2

图①

图② 第 6 题解图 ②当点 B′在 AC 的上方时,如解图②,连接 B′C,同理得:F 是 DC 的中点,F 是 PB′的中点,∴DF=FC, PF=FB′,∴四边形 DPCB′是*行四边形,∴PC=B′D=BD= 5,∴AP=5- 5,综上所述,AP 的长为 2 或 5- 5. 7.8+2 3或 8-2 3 【解析】由折叠的性质得,∠EC′D′=∠C=90°,C′E=CE.∵点 B、C′、D′

BE 在同一直线上,∴∠BC′E=90°,∵BC=12,BE=2CE,∴BE=8,C′E=CE=4,在 Rt△BC′E 中, C′E =2,∴∠C′BE=30°.①当点 C′在 BC 的上方时,如解图①,过 E 作 EG⊥AD 于 G,延长 EC′交 AD 于 H, 则四边形 ABEG 是矩形,∴ EG = AB = 6 , AG = BE = 8 ,∵∠C′BE=30°,∠BC′E=90°,∴∠BEC′= 60°,由折叠的性质得,∠C′EF=∠CEF=60°.∵AD∥BC,∴∠HFE=∠CEF=60°,∴△EFH 是等边三 角形,∴在 Rt△EFG 中,EG=6,∴GF=2 3,∴AF=8+2 3;②当点 C′在 BC 的下方时,如解图②,过 F 作 FG⊥AD 于 G,D′F 交 BE 于 H,同①可得,四边形 ABGF 是矩形,△EFH 是等边三角形,∴AF=BG,FG =AB=6,∠FEH=60°,在 Rt△EFG 中,GE=2 3.∵BE=8,∴BG=8-2 3,∴AF=8-2 3.

图①

图② 第 7 题解图 类型三 针对训练 1.5 3-5 【解析】如解图,连接 BE.

第 1 题解图 ∵AB=BC=AC=10,∴∠C=60°.∵AB=BC,E 是 AC 的中点,∴BE⊥AC.∴BE= BC -EC = 10 -5 =
2 2 2 2

5 3.∵AC=10,E 是 AC 边的中点,∴AE=5.由翻折的性质可知 A′E=AE=5.∵BA′+A′E≥BE,∴当点 B、A′、E 在一条直线上时,BA′有最小值,最小值=BE-A′E=5 3-5. 2. 40 2 2 【解析】连接 DE,DE= 5 +12 =13,∵将△AEP 沿 FP 折叠,使得点 A 落在点 A′的位置,∴EA′ 3

=EA=5,∵A′D≥DE-EA′

第 2 题解图 (当且仅当 A′点在 DE 上时,取等号),∴当 A′与点 D 的距离最短时,A′点在 DE 上,∴DA′=13-5= 10 2 2 2 8,设 PA′=x,则 PA=x,PD=12-x,在 Rt△DPA′中,x +8 =(12-x) ,解得 x= ,∴△A′PD 的面 3 1 10 40 积= ×8× = . 2 3 3 3. 1+ 5 2 2 【解析】在 Rt△ADE 中,DE= 2 +4 =2 5,当 B′在 ED 上时,B′D 最小,在 ED 上截取 EB′ 2

= EB = 2 ,连接 B′F, FD ,则 B′D= ED -EB′= 2 5 - 2 ,设 BF = x ,则 B′F= x , CF = 4 - x ,在 Rt△B′FD 和 Rt△FCD 中,利用勾股定理,可得 DB′ +B′F =DF =CF +DC ,即(2 5-2) +x =(4-x) BF 1+ 5 2 +4 ,解得 x= 5+1,∴Rt△BEF 中,tan∠BEF= = . BE 2
2 2 2 2 2 2 2 2

第 3 题解图 4. 12 5 【解析】由题意得:DF=DB, 5

第 4 题解图 ∴点 F 在以 D 为圆心,BD 为半径的圆上,作⊙D; 连接 AD 交⊙D 于点 F,此时 AF 值最小,∵点 D 是边 BC 的中点,∴CD=BD=3;而 AC=4,由勾股定理得:AD =AC +CD ,∴AD=5,而 FD=3,∴FA=5-3=2, 即线段 AF 长的最小值是 2,连接 BF,过 F 作 FH⊥BC 于 H,∵∠ACB=90°,∴FH∥AC,∴△DFH∽△DAC, ∴ DF DH HF 3 DH HF 12 9 24 12 5 2 2 = = ,即 = = ,∴HF= ,DH= ,∴BH= ,∴BF= BH +HF = . AD CD AC 5 3 4 5 5 5 5
2 2 2


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